线性代数一则——Hermite 矩阵正定的充要条件

给定一个 \( n \) 阶 Hermite 矩阵 \( A \),即满足
$$ A^*=(\overline{A})^T $$的矩阵
如何去判断它是否是正定的呢?
注:一个 Hermite 矩阵正定即对于任意的列向量 \( v \),点积
$$ v^*Av $$都是正实数

Sylvester 的定理给我们了一个充要条件

定理 1:一个 Hermite 矩阵 \( A \) 是正定的当且仅当它的前 \( n \) 个主子矩阵的行列式全为正实数
其中主子矩阵指由 \( A \) 的前 \( k \) 行中的前 \( k \) 列构成的子矩阵
特别的,最大的主子矩阵就是 \( A \) 自身

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已知全部棱长求三棱锥体积:凯莱-门格行列式

大家好我是渡鸽,发现还是写老本行的文章舒服,今天再摸一篇鱼,敬请雅正。

熟悉竞赛几何学的读者可能知道,给定一个三角形的三条边 \(a,b,c\) 和半周长 \(p=\frac12(a+b+c)\),就可以确定一个唯一的三角形,它的面积由海伦(Heron)-秦九韶公式给出:
\[\mathbf{S}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\]

那么根据生活经验,六条给定的边也可以确定一个唯一的四面体(是三棱锥的另一种说法),它的体积有没有什么方法计算呢?答案是肯定的。

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分拆数趣题又两则

1.设 \( A \) 是只含 \( 2 \)-循环的 \( 2n \) 阶置换个数,\( B \) 是只含偶数阶循环的 \( 2n \) 阶置换个数,证明:\( B=A^2 \)

2.设 \( a(\sigma) \) 是 \( n \) 阶置换 \( \sigma \) 中 \( 1 \)-循环的个数(也就是不动元素的个数),证明当 \( n\ge2 \) 时:
$$ \frac{1}{n!}\sum_\sigma a(\sigma)^2=2 $$其中求和号表示对全体 \( n! \) 个 \( n \) 阶置换求和

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分拆数趣题一则

@duya 提供了这么一道题目:

\( n,k \) 是正整数,\( p \) 是 \( n \) 的一个分拆,\( a(p) \) 表示分拆 \( p \) 中 \( k \) 的个数,\( b(p) \) 表示分拆 \( p \) 中 \( k \) 的倍数的种类数,求证
$$ A=\sum_p a(p)=\sum_p b(p)=B $$其中求和号表示对 \( n \) 的全体可能的分拆求和

注:\( n \) 的一个分拆是指把 \( n \) 表示为若干个正整数的和, 不考虑顺序,可以重复

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生成函数趣题三则

大家好我是渡鸦,好像这周悟理停更了,正好我放假了我更一期。

今天的文章里我来简单介绍一下生成函数的概念,之后会用它解决三道具有一定代表性的例题。

(出于阅读的连贯性考虑,以下是很基础的介绍,可以跳过不看)

生成函数,或者也叫做“母函数”,就是可以包含下某个数列的全部信息的函数的统称。通常说来生成函数都会比它所代表的数列包含一些甚至许多更好用的性质,然后我们就可以利用这些额外的性质来得到一些关于数列本身的结论。

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【两个有趣的积分】解答篇

废话不多说,我们直接看解答过程

(1)

  • (此解法来自渡鸦)

记 \( I=\int_{0}^{1}\log\sin(\pi t)dt \)

根据积分换元公式,设 \( u=2t \) ,有

$$ \begin{split} I &= \int_0^{1/2}2\log\sin(2\pi u)du\\ &= 2\int_0^{1/2}\log(2\sin(\pi u)cos(\pi u))du\\ &= \log2 + 2\int_0^{1/2}\log\sin(\pi u)du + 2\int_0^{1/2}\log\cos(\pi u)du \end{split} $$ 继续阅读“【两个有趣的积分】解答篇”