作者： 悟理

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线性代数一则——Hermite 矩阵正定的充要条件

给定一个 \( n \) 阶 Hermite 矩阵 \( A \)，即满足
$$ A^*=(\overline{A})^T $$的矩阵
如何去判断它是否是正定的呢？
注：一个 Hermite 矩阵正定即对于任意的列向量 \( v \)，点积
$$ v^*Av $$都是正实数

Sylvester 的定理给我们了一个充要条件

定理 1：一个 Hermite 矩阵 \( A \) 是正定的当且仅当它的前 \( n \) 个主子矩阵的行列式全为正实数
其中主子矩阵指由 \( A \) 的前 \( k \) 行中的前 \( k \) 列构成的子矩阵
特别的，最大的主子矩阵就是 \( A \) 自身

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分拆数趣题又两则

1.设 \( A \) 是只含 \( 2 \)-循环的 \( 2n \) 阶置换个数，\( B \) 是只含偶数阶循环的 \( 2n \) 阶置换个数，证明：\( B=A^2 \)

2.设 \( a(\sigma) \) 是 \( n \) 阶置换 \( \sigma \) 中 \( 1 \)-循环的个数(也就是不动元素的个数)，证明当 \( n\ge2 \) 时：
$$ \frac{1}{n!}\sum_\sigma a(\sigma)^2=2 $$其中求和号表示对全体 \( n! \) 个 \( n \) 阶置换求和

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分拆数趣题一则

@duya 提供了这么一道题目：

\( n,k \) 是正整数，\( p \) 是 \( n \) 的一个分拆，\( a(p) \) 表示分拆 \( p \) 中 \( k \) 的个数，\( b(p) \) 表示分拆 \( p \) 中 \( k \) 的倍数的种类数，求证
$$ A=\sum_p a(p)=\sum_p b(p)=B $$其中求和号表示对 \( n \) 的全体可能的分拆求和

注：\( n \) 的一个分拆是指把 \( n \) 表示为若干个正整数的和， 不考虑顺序，可以重复

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Windows下的搜索利器——EveryThing

你是否曾经因为找不到文档而苦恼
你是否曾经对着Windows自带搜索焦急等待
现在，有了Everything，这一切都不再是问题

Everything体积小巧(安装程序不到2MB)，除了初次运行需要扫描外，之后运行几乎不占用内存，对存储的需求也不高
最重要的是：它 真 的 快 ！
从下面这张GIF可以看到，在我的电脑上，几乎是输入的瞬间就弹出了结果，而且是全盘搜索

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什么！？围棋竟然必然会被破解！——策梅洛(Zermelo)定理

前段时间，Google的围棋AI——Alpha Go击败李世石，标志着人工智能技术进入了新的时代。

公认的最复杂的棋类运动，围棋，如今也已经被AI所“破解”。

之所以围棋曾经被认为是“AI不能解决”的，是因为围棋相较于国际象棋等其他棋类，其变化之丰富，已经超出了人类目前最强力的计算机的枚举能力。

Google的AI能击败人类顶尖选手，是因为它采用了深度神经网络等一系列的算法，这里我们不做介绍。

那么仅仅从数学上来说，围棋是否是可以被完全“破解”的呢？

换句话说，围棋中是否存在一方(先手或后手)有必胜策略？

这里就需要博弈论中的重要定理：策梅洛(Zermelo)定理出场了。

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【两个有趣的积分】解答篇

废话不多说，我们直接看解答过程

(1)

  • (此解法来自渡鸦)

记 \( I=\int_{0}^{1}\log\sin(\pi t)dt \)

根据积分换元公式，设 \( u=2t \) ，有

$$ \begin{split} I &= \int_0^{1/2}2\log\sin(2\pi u)du\\ &= 2\int_0^{1/2}\log(2\sin(\pi u)cos(\pi u))du\\ &= \log2 + 2\int_0^{1/2}\log\sin(\pi u)du + 2\int_0^{1/2}\log\cos(\pi u)du \end{split} $$ 继续阅读“【两个有趣的积分】解答篇”