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大家好我是渡鸦，今天和大家聊一聊下面这张图片的来龙去脉。（图片来源[1]，点开图片看大图）
π节/白色情人节快乐！我是渡鸦，最近没什么时间写新的文，以后可能要不定期地鸽下去了咕咕。今天意外地翻到了自己一年前做过的动图，所以滥竽充数地发一篇看图贴了，希望大家理解。
大家好我是渡鸦，几天前网友sepia大大分享了这么一个谜题（感谢！）：
一个\(\omega_1\)个车站的轨道上，行驶着一辆谜之火车。火车从0号车站出发的时候，车上一个人也没有。之后，火车在1号车站、2号车站……每一站停车的时候，如果车上有人就会有1个人下车，之后有\(\omega\)个新的乘客上车。当火车到达\(\omega_1\)号车站的时候，还有多少人正在车上呢？
这其中\(\omega\)指的是可数无穷，而\(\omega_1\)指的是最小的不可数无穷。如标题所示，这个问题的答案正是：0人。你猜到了吗？
大家好我是bot鸦，这个博客逐渐变成数学网站，不好意思了
今天用3b1b的灯塔方法简单证明下面这个等式：
\[\frac1{1^3}-\frac1{3^3}+\frac1{5^3}-\frac1{7^3}+\frac1{9^3}\pm\cdots=\frac{\pi^3}{32}\]
给定一个 \( n \) 阶 Hermite 矩阵 \( A \)，即满足
$$ A^*=(\overline{A})^T $$的矩阵
如何去判断它是否是正定的呢？
注：一个 Hermite 矩阵正定即对于任意的列向量 \( v \)，点积
$$ v^*Av $$都是正实数
Sylvester 的定理给我们了一个充要条件
定理 1：一个 Hermite 矩阵 \( A \) 是正定的当且仅当它的前 \( n \) 个主子矩阵的行列式全为正实数
其中主子矩阵指由 \( A \) 的前 \( k \) 行中的前 \( k \) 列构成的子矩阵
特别的，最大的主子矩阵就是 \( A \) 自身
1.设 \( A \) 是只含 \( 2 \)-循环的 \( 2n \) 阶置换个数，\( B \) 是只含偶数阶循环的 \( 2n \) 阶置换个数，证明：\( B=A^2 \)
2.设 \( a(\sigma) \) 是 \( n \) 阶置换 \( \sigma \) 中 \( 1 \)-循环的个数(也就是不动元素的个数)，证明当 \( n\ge2 \) 时：
$$ \frac{1}{n!}\sum_\sigma a(\sigma)^2=2 $$其中求和号表示对全体 \( n! \) 个 \( n \) 阶置换求和
@duya 提供了这么一道题目：
\( n,k \) 是正整数，\( p \) 是 \( n \) 的一个分拆，\( a(p) \) 表示分拆 \( p \) 中 \( k \) 的个数，\( b(p) \) 表示分拆 \( p \) 中 \( k \) 的倍数的种类数，求证
$$ A=\sum_p a(p)=\sum_p b(p)=B $$其中求和号表示对 \( n \) 的全体可能的分拆求和
注：\( n \) 的一个分拆是指把 \( n \) 表示为若干个正整数的和， 不考虑顺序，可以重复
继续阅读“分拆数趣题一则”
