线性代数一则——Hermite 矩阵正定的充要条件

给定一个 \( n \) 阶 Hermite 矩阵 \( A \),即满足
$$ A^*=(\overline{A})^T $$的矩阵
如何去判断它是否是正定的呢?
注:一个 Hermite 矩阵正定即对于任意的列向量 \( v \),点积
$$ v^*Av $$都是正实数

Sylvester 的定理给我们了一个充要条件

定理 1:一个 Hermite 矩阵 \( A \) 是正定的当且仅当它的前 \( n \) 个主子矩阵的行列式全为正实数
其中主子矩阵指由 \( A \) 的前 \( k \) 行中的前 \( k \) 列构成的子矩阵
特别的,最大的主子矩阵就是 \( A \) 自身

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已知全部棱长求三棱锥体积:凯莱-门格行列式

大家好我是渡鸽,发现还是写老本行的文章舒服,今天再摸一篇鱼,敬请雅正。

熟悉竞赛几何学的读者可能知道,给定一个三角形的三条边 \(a,b,c\) 和半周长 \(p=\frac12(a+b+c)\),就可以确定一个唯一的三角形,它的面积由海伦(Heron)-秦九韶公式给出:
\[\mathbf{S}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\]

那么根据生活经验,六条给定的边也可以确定一个唯一的四面体(是三棱锥的另一种说法),它的体积有没有什么方法计算呢?答案是肯定的。

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分拆数趣题又两则

1.设 \( A \) 是只含 \( 2 \)-循环的 \( 2n \) 阶置换个数,\( B \) 是只含偶数阶循环的 \( 2n \) 阶置换个数,证明:\( B=A^2 \)

2.设 \( a(\sigma) \) 是 \( n \) 阶置换 \( \sigma \) 中 \( 1 \)-循环的个数(也就是不动元素的个数),证明当 \( n\ge2 \) 时:
$$ \frac{1}{n!}\sum_\sigma a(\sigma)^2=2 $$其中求和号表示对全体 \( n! \) 个 \( n \) 阶置换求和

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分拆数趣题一则

@duya 提供了这么一道题目:

\( n,k \) 是正整数,\( p \) 是 \( n \) 的一个分拆,\( a(p) \) 表示分拆 \( p \) 中 \( k \) 的个数,\( b(p) \) 表示分拆 \( p \) 中 \( k \) 的倍数的种类数,求证
$$ A=\sum_p a(p)=\sum_p b(p)=B $$其中求和号表示对 \( n \) 的全体可能的分拆求和

注:\( n \) 的一个分拆是指把 \( n \) 表示为若干个正整数的和, 不考虑顺序,可以重复

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