月度归档： 2019 年 6 月

给定一个 \( n \) 阶 Hermite 矩阵 \( A \)，即满足
$$ A^*=(\overline{A})^T $$的矩阵
如何去判断它是否是正定的呢？
注：一个 Hermite 矩阵正定即对于任意的列向量 \( v \)，点积
$$ v^*Av $$都是正实数

Sylvester 的定理给我们了一个充要条件

定理 1：一个 Hermite 矩阵 \( A \) 是正定的当且仅当它的前 \( n \) 个主子矩阵的行列式全为正实数
其中主子矩阵指由 \( A \) 的前 \( k \) 行中的前 \( k \) 列构成的子矩阵
特别的，最大的主子矩阵就是 \( A \) 自身

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1.设 \( A \) 是只含 \( 2 \)-循环的 \( 2n \) 阶置换个数，\( B \) 是只含偶数阶循环的 \( 2n \) 阶置换个数，证明：\( B=A^2 \)

2.设 \( a(\sigma) \) 是 \( n \) 阶置换 \( \sigma \) 中 \( 1 \)-循环的个数(也就是不动元素的个数)，证明当 \( n\ge2 \) 时：
$$ \frac{1}{n!}\sum_\sigma a(\sigma)^2=2 $$其中求和号表示对全体 \( n! \) 个 \( n \) 阶置换求和

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@duya 提供了这么一道题目：

\( n,k \) 是正整数，\( p \) 是 \( n \) 的一个分拆，\( a(p) \) 表示分拆 \( p \) 中 \( k \) 的个数，\( b(p) \) 表示分拆 \( p \) 中 \( k \) 的倍数的种类数，求证
$$ A=\sum_p a(p)=\sum_p b(p)=B $$其中求和号表示对 \( n \) 的全体可能的分拆求和

注：\( n \) 的一个分拆是指把 \( n \) 表示为若干个正整数的和， 不考虑顺序，可以重复

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