用物理方法解决数学问题

我们经常说数学是解决物理问题的工具,但你有没有听说过,在一些情况下物理方法也可以用来解决数学问题?下面是两个有趣的例子:

1.三角形的费马点

问题:平面上给定一个三角形 \( ABC \) ,点 \( P \) 到三角形三个顶点的距离之和最小,那么 \( \angle APB \ \angle BPC \ \angle CPA \) 均为 \( 120 ^\circ \)

如果建立平面直角坐标系来解决这个问题会非常困难,即使利用重心坐标计算也相当复杂

如果我们采用物理方法,这个问题几乎成了显然的

假想有一个悬空固定的塑料板,在板子上画出这个三角形,然后在三个顶点处分别钻一个光滑的小孔

把三个足够长的,分别系有一个质量为 \( m \) 的重物的轻绳从下往上穿过小孔,然后将三个末端打成一个结

现在松开手,于是系统会稳定在能量最低的位置,也就是三个重物的重力势能和最小的位置

因为重物的重力势能正比于它所处的高度,所以重力势能最小就是塑料板下面的绳子总长度最大,换句话说,桌面上三段绳子的总长度最小,于是绳结所处位置就是 \( P \) 点!

又因为绳结处受力平衡,而三个重物的质量相同,自然三根绳上的拉力也相等,那么必然三根绳两两的夹角都是 \( 120^\circ \) ,否则不能平衡,问题解决!

2.一维随机游走

问题:假设有一条长度为 \( a+b \) 米的小路,距离左侧 \( a \) 米的位置有一个喝醉了的酒鬼,每经过一分钟,他就随机向左或者向右走一米,如果他走到了两端就停下来,那么在经过了无穷长的时间后,他走到两端的概率各是多少?

这个问题可以通过写递推数列的方法解决,不过运用物理知识却更为令人惊叹

假设一开始距离左侧 \( a \) 米的位置有一个质量为 \( 1 \) 的小球,经过一分钟,小球分裂成质量为原来一半的两个,在左右两侧各一米的位置,之后每经过一分钟,所有的小球都同样地分裂一次,如果某个小球到达两端,那么它就停止分裂

那么显然地,经过一段时间后某个位置处的小球质量就是醉鬼在这时走到这里的概率,而经过无穷的时间后,不在两端的小球质量会趋近于 \( 0 \)

我们只需注意到一件事情,每次分裂后,所有小球的重心位置不会发生改变,一直位于距左侧 \( a \) 的位置,因此在无穷长的时间后仍然成立

假设在左端和右端的概率分别是 \( l \) 和 \( r \)

所有小球的总质量是 \( 1 \) ,因此
$$ l+r=1 $$

两个物体到重心的距离之比是它们质量的反比,因此
$$ \frac{l}{r}=\frac{b}{a} $$

可以解得
$$ l=\frac{b}{a+b} \quad r=\frac{a}{a+b} $$

问题解决!

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