分拆数趣题又两则

1.设 \( A \) 是只含 \( 2 \)-循环的 \( 2n \) 阶置换个数,\( B \) 是只含偶数阶循环的 \( 2n \) 阶置换个数,证明:\( B=A^2 \)

2.设 \( a(\sigma) \) 是 \( n \) 阶置换 \( \sigma \) 中 \( 1 \)-循环的个数(也就是不动元素的个数),证明当 \( n\ge2 \) 时:
$$ \frac{1}{n!}\sum_\sigma a(\sigma)^2=2 $$其中求和号表示对全体 \( n! \) 个 \( n \) 阶置换求和

解答变成鸽子飞走了~

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