一道极值问题的几种解法

最近网上流传有这么一张图

那么我们就来求解一下图中的问题，即：

$$ \begin{split}
&\begin{cases}
x+y+z=3\\
x^2+y^2+z^2=9
\end{cases}\\
&\text{求}\ y-x\ \text{的最大值}
\end{split} $$

• 我们先来看一种常规思路

将 \( z \) 代换为 \( 3-x-y \) 得到

$$ x^2+y^2+(3-x-y)^2=9 $$

即

$$ 2x^2+2y^2-6x-6y+2xy=0 $$

由于我们的目标是求 \( y-x \) 的极值，所以将 \( y-x \) 设为 \( u \)

对应地，将 \( y+x \) 设为 \( v \)

那么上一个式子可以写为

$$ u^2+v^2-6v+\frac{1}{2}(v^2-u^2)=0 $$

即

$$ u^2=-3v^2+12v $$

右侧为 \( v \) 的二次函数，容易求得最大值为 \( 12 \)

因此 \( y-x=u \) 的最大值是 \( 2\sqrt{3} \)

 

• 题目虽然解决了，但是上一种方法显得十分缺乏直观性

接下来让我们看一个“几何”的解法

将 \( x,y,z \) 看作是三维空间的三个坐标

那么 \( x^2+y^2+z^2=9 \) 表示球心在原点，半径为 \( 3 \) 的球（图中蓝色球）

\( x+y+z=3 \) 表示过 \( (3,0,0),(0,3,0),(0,0,3) \) 的平面（图中黄色平面）

这两个方程同时成立也就意味着点 \( (x,y,z) \) 在两个曲面的相交部分
也就是图中红色的圆

注意，这个圆的圆心在 \( (1,1,1) \) 处，并且过 \( (3,0,0),(0,3,0),(0,0,3) \) 三个点

由于我们所求的式子 \( y-x \) 和 \( z \) 的取值没有关系

所以我们可以在图中“忽略” \( z \) 坐标
或者说，把红色圆沿 \( z \) 轴方向投影到 \( xOy \) 平面上

于是 \( z \) 轴缩成了一个点，原来的圆实际上变成了一个椭圆

由于原来的圆是关于 \( x \) 和 \( y \) 对称的
于是投影椭圆一定是关于 \( y=x \) 对称的

那么问题就变成了一个线性规划问题

即在图示椭圆上求 \( y-x=b \) 的最值

由于 \( y=x \) 正好是椭圆的短轴
最值显然长轴的端点取到

这时候 \( x,y \) 应该满足的关系是 \( x+y=2 \)

于是结合 \( z=1 \) 可以解得此时

$$ \begin{cases}
x=1-\sqrt{3}\\
y=1+\sqrt{3}\\
z=1
\end{cases}$$

这样同样也可以解出最大值是 \( 2\sqrt{3} \)

• 一个配方的解法（此解法来自渡鸦）

我们可以给 \(x^2+y^2+z^2\) 配方，得到
\[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2+\underbrace{(x+y+z)^2}_{=9}=\underbrace{3(x^2+y^2+z^2)}_{=27}\]

注意到 \((y-z)+(z-x)=(y-x)\)，所以接下来可以对左边第二项和第三项使用恒等式 \[a^2+b^2=\frac{(a+b)^2+(a-b)^2}2\]从而得到：
\[\frac32(x-y)^2+\frac12(x+y-2z)^2=18\]

因此就有了\[\max\{y-x\}=\sqrt{\frac23\cdot18}=2\sqrt3\]得证。

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以上的解法各有千秋
但是，它们都不能作为解决这类极值问题的一般方法

比如我们将原题的条件稍作变动

$$ \begin{split}
&\begin{cases}
x+y+z=3\\
x^4+y^2+z^2=9
\end{cases}\\
&\text{求}\ y-x\ \text{的最大值}
\end{split} $$

以上三种方法就全部失效了

对于这类问题更为一般的方法是利用拉格朗日(Lagrange)乘子法

之后的博文中将会对这个方法做详细介绍