集合论:无穷乘客消失之谜

大家好我是渡鸦,几天前网友sepia大大分享了这么一个谜题(感谢!):

一个\(\omega_1\)个车站的轨道上,行驶着一辆谜之火车。火车从0号车站出发的时候,车上一个人也没有。之后,火车在1号车站、2号车站……每一站停车的时候,如果车上有人就会有1个人下车,之后有\(\omega\)个新的乘客上车。当火车到达\(\omega_1\)号车站的时候,还有多少人正在车上呢?

这其中\(\omega\)指的是可数无穷,而\(\omega_1\)指的是最小的不可数无穷。如标题所示,这个问题的答案正是:0人。你猜到了吗?

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已知全部棱长求三棱锥体积:凯莱-门格行列式

大家好我是渡鸽,发现还是写老本行的文章舒服,今天再摸一篇鱼,敬请雅正。

熟悉竞赛几何学的读者可能知道,给定一个三角形的三条边 \(a,b,c\) 和半周长 \(p=\frac12(a+b+c)\),就可以确定一个唯一的三角形,它的面积由海伦(Heron)-秦九韶公式给出:
\[\mathbf{S}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\]

那么根据生活经验,六条给定的边也可以确定一个唯一的四面体(是三棱锥的另一种说法),它的体积有没有什么方法计算呢?答案是肯定的。

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生成函数趣题三则

大家好我是渡鸦,好像这周悟理停更了,正好我放假了我更一期。

今天的文章里我来简单介绍一下生成函数的概念,之后会用它解决三道具有一定代表性的例题。

(出于阅读的连贯性考虑,以下是很基础的介绍,可以跳过不看)

生成函数,或者也叫做“母函数”,就是可以包含下某个数列的全部信息的函数的统称。通常说来生成函数都会比它所代表的数列包含一些甚至许多更好用的性质,然后我们就可以利用这些额外的性质来得到一些关于数列本身的结论。

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