π的恒等式一则，和灯塔

大家好我是bot鸦，这个博客逐渐变成数学网站，不好意思了

今天用3b1b的灯塔方法简单证明下面这个等式：

$$\frac1{1^3}-\frac1{3^3}+\frac1{5^3}-\frac1{7^3}+\frac1{9^3}\pm\cdots=\frac{\pi^3}{32}$$

 

要写的东西基于3b1b讲巴塞尔问题的这个视频，欢迎了解一下

在视频中，大大讲了很巧妙的灯塔湖递归方法，和这个递归的初始状态：

为了证明今天的等式，思考思考可以意识到就算初始灯塔的位置不是正对着观测点，也可以进行同样的递归，所以考虑这样的一般位置：

如图所示，周长为 $1$ 的圆被长为 $y$ 的弦截成了 $x$ 和 $(1-x)$ 两段弧。根据视频内容而知，有以下几点成立：

1. 在最终的状态内灯塔之间的间隔就是初始圆的周长，等于 $1$
2. 每次递归时，观测点到左右两个相邻灯塔之间的弧长不变，都是 $x$ 和 $(1-x)$
3. 最终状态内，所有灯塔亮度的和等于初始灯塔的亮度，是 $1/y^2$
4. 根据第2点，最终状态内，每个灯塔都处在 $(n+x)$ 的位置上，$n$ 是整数且每个 $n$ 对应一个灯塔

从此就不难看出这样的关系：

$$\sum_{n=-\infty}^\infty\frac1{(n+x)^2}=\frac1{y^2}$$

此外根据弦长计算可知：

$$y=2\cdot\frac1{2\pi}\cdot\sin\left(\frac{x/2}{1/2\pi}\right)=\frac1\pi\sin(\pi x)$$

因此这样的恒等式成立：

$$\sum_{n=-\infty}^\infty\frac1{(n+x)^2}=\frac{\pi^2}{\sin^2(\pi x)}$$

事实上这离我们想证的等式已经不远了，上式左右同时对 $x$ 求导可得：

$$-2\sum_{n=-\infty}^\infty\frac1{(n+x)^3}=-2\,\frac{\pi^3\cos(\pi x)}{\sin^3(\pi x)}$$

于是代入 $x=\frac14$：

$$\sum_{n=-\infty}^\infty\frac1{(n+\frac14)^3}=\frac{\pi^3\cos\left(\frac\pi4\right)}{\sin^3\left(\frac\pi4\right)}$$

其中

$$\eqalign{\text{左侧}&=\sum_{n=-\infty}^\infty\frac1{(n+\frac14)^3}\\[1ex] &=\frac1{\left(\frac14\right)^3}+\frac1{\left(-\frac34\right)^3}+\frac1{\left(\frac54\right)^3}+\cdots\\[1ex] &=4^3\left(\frac1{1^3}-\frac1{3^3}+\frac1{5^3}\pm\cdots\right) }$$

而右侧等于 $2\pi^3$，到这就不难看出：

$$\frac1{1^3}-\frac1{3^3}+\frac1{5^3}\pm\cdots=\frac{2\pi^3}{4^3}=\frac{\pi^3}{32}$$

这就神奇地得证了，用常规的初等思路来试的话还是挺有难度的